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・ガウスの消去法
ガウスの消去法は、直接、連立方程式を解く方法です。
この解法で3元1次方程式を解いてみます。
\[
\left\{
\begin{aligned}
a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1&=d_1\\[6pt]
a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2&=d_2\\[6pt]
a_3x_3+b_3y_3+c_3z_3&=d_3
\end{aligned}
\right.
\]
上式を行列式で表すと次式となります。
\[
\begin{pmatrix}
a_1&b_1&c_1\\
a_2&b_2&c_2\\
a_3&b_3&c_3
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}
=
\begin{pmatrix}d_1\\d_2\\d_3\end{pmatrix}
\]
これを次式の形に直すと変数がわかります。
\[
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}
=
\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}
\]
1つの行列で表すと次式となります。
\[
\begin{pmatrix}
a_1&b_1&c_1&d_1\\
a_2&b_2&c_2&d_2\\
a_3&b_3&c_3&d_3
\end{pmatrix}
\]
手順1.
・1行目を係数a1で割る。
・2行目を係数a2で割る。
・3行目を係数a3で割る。
\[
\begin{pmatrix}
1&\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_1}{a_1}\\
1&\dfrac{b_2}{a_2}&\dfrac{c_2}{a_2}&\dfrac{d_2}{a_2}\\
1&\dfrac{b_3}{a_3}&\dfrac{c_3}{a_3}&\dfrac{d_3}{a_3}
\end{pmatrix}
\]
手順2.1行目を引く。
\[
\begin{pmatrix}
1&\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_1}{a_1}\\
0&\dfrac{b_2}{a_2}-\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_2}{a_2}-\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_2}{a_2}-\dfrac{d_1}{a_1}\\
0&\dfrac{b_3}{a_3}-\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_3}{a_3}-\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_3}{a_3}-\dfrac{d_1}{a_1}
\end{pmatrix}
\]
手順3.係数を次式で置き換える。
\[
\begin{pmatrix}
1&\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_1}{a_1}\\
0&s_1&s_2&s_3\\
0&t_1&t_2&t_3
\end{pmatrix}
\]
手順4.
・2行目を係数s1で割る。
・3行目を係数t1で割る。
\[
\begin{pmatrix}
1&\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_1}{a_1}\\
0&1&\dfrac{s_2}{s_1}&\dfrac{s_3}{s_1}\\
0&1&\dfrac{t_2}{t_1}&\dfrac{t_3}{t_1}
\end{pmatrix}
\]
手順5.2行目を引く。
\[
\begin{pmatrix}
1&\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_1}{a_1}&\dfrac{d_1}{a_1}\\
0&1&\dfrac{s_2}{s_1}&\dfrac{s_3}{s_1}\\
0&0&\dfrac{t_2}{t_1}-\dfrac{s_2}{s_1}&\dfrac{t_3}{t_1}-\dfrac{s_3}{s_1}
\end{pmatrix}
\]
連列方程式に直すと次式となります。 z→ y→ xの順番に変数が計算できます。
\[
\left\{
\begin{aligned}
x+\frac{b_1}{a_1}y+\frac{c_1}{a_1}z&=\frac{d_1}{a_1}\\[6pt]
y+\frac{s_2}{s_1}z&=\frac{s_3}{s_1}\\[6pt]
\left(\frac{t_2}{t_1}-\frac{s_2}{s_1}\right)z&=\frac{t_3}{t_1}-\frac{s_3}{s_1}
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\begin{pmatrix}
1&\dfrac{b_1}{a_1}&\dfrac{c_1}{a_1}\\
0&1&\dfrac{s_2}{s_1}\\
0&0&\dfrac{t_2}{t_1}-\dfrac{s_2}{s_1}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{d_1}{a_1}\\
\dfrac{s_3}{s_1}\\
\dfrac{t_3}{t_1}-\dfrac{s_3}{s_1}
\end{pmatrix}
\]
・ポイント
割り算をする係数が0の場合は、計算ができません。 係数が0となる場合は、列を入れ替える必要があります。 割り算をする係数は、aii成分です。
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