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無次元化
無次元化とは、収支式に使用されている変数の次元を無次元[-] にする操作です。簡易的に言えば、割合に変える操作です。 無次元化することで収支式の定数は無次元数のみとなります。 逆に言えば、ある無次元数で計算された結果は、その無次元数を構成する変数をどのようにとっても変わりません。 速度や長さ、密度などが異なっても無次元数が等しければ同じ現象が現れます。 変数は次式で無次元化されます。ここで、x0[m] は代表長さ、v0[m/s] は代表速度です。
座標の無次元化
\[
X=\frac{x}{x_0},\quad Y=\frac{y}{x_0},\quad Z=\frac{z}{x_0}
\]
速度の無次元化
\[
V_x=\frac{v_x}{v_0},\quad V_y=\frac{v_y}{v_0},\quad V_z=\frac{v_z}{v_0}
\]
温度の無次元化
\[
\Theta=\frac{T-T_0}{T_1-T_0}
\]
時間の無次元化
\[
\tau=\frac{v_0}{x_0}t
\]
熱収支式の無次元化
無次元化前
\[
\rho C_p\frac{DT}{Dt}=-(\nabla\cdot\vec q)
\]
ここで、\(\vec q\)[N/m2s] は熱流束で、
\[
\vec q=-k\left(
\vec\delta_x\frac{\partial T}{\partial x}
+\vec\delta_y\frac{\partial T}{\partial y}
+\vec\delta_z\frac{\partial T}{\partial z}
\right)
\]
成分表示すると
\[
\rho C_p\left(
\frac{\partial T}{\partial t}
+v_x\frac{\partial T}{\partial x}
+v_y\frac{\partial T}{\partial y}
+v_z\frac{\partial T}{\partial z}
\right)
=
k\left(
\frac{\partial^2T}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2T}{\partial z^2}
\right)
\]
無次元化後
\[
\frac{D\Theta}{D\tau}=-(\nabla\cdot\vec q^{*})
\]
ここで、\(\vec q^{*}\)[-]は熱流束で、
\[
\vec q^{*}=-\frac{1}{Pe}\left(
\vec\delta_x\frac{\partial T}{\partial x}
+\vec\delta_y\frac{\partial T}{\partial y}
+\vec\delta_z\frac{\partial T}{\partial z}
\right)
\]
成分表示すると
\[
\frac{\partial\Theta}{\partial\tau}
+V_x\frac{\partial\Theta}{\partial X}
+V_y\frac{\partial\Theta}{\partial Y}
+V_z\frac{\partial\Theta}{\partial Z}
=
\frac{1}{Pe}\left(
\frac{\partial^2\Theta}{\partial X^2}
+\frac{\partial^2\Theta}{\partial Y^2}
+\frac{\partial^2\Theta}{\partial Z^2}
\right)
\]
また、
\[
Pe=\frac{\rho C_p v_0 x_0}{k}
\]
ペクレ数Peは、対流伝熱と伝導伝熱の比を表しています。
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