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剪断成分の対称性
応力テンソルの剪断応力成分を導出します。下図の様な回転運動からトルク [Nm]の収支を考えます。
上図の様にxy平面の中心に慣性モーメント Iz[Nm/s]の軸を取り、角速度を w[rad/s] とします。この時、剪断応力とのトルク[Nm] の収支は次式で与えられます。
\[
(\tau_{yx|x}\Delta y\Delta z+\tau_{yx|x+\Delta x}\Delta y\Delta z)\frac{\Delta x}{2}
-(\tau_{xy|y}\Delta z\Delta x+\tau_{xy|y+\Delta y}\Delta z\Delta x)\frac{\Delta y}{2}
=I_z\omega
\]
従って、
\[
\frac{\Delta x\Delta y\Delta z}{2}
(\tau_{yx|x}+\tau_{yx|x+\Delta x}-\tau_{xy|y}-\tau_{xy|y+\Delta y})
=I_z\omega
\]
ここで、慣性モーメントは、
\[
\begin{aligned}
I_z
&=\int \rho r^2\,dV\\[6pt]
&=\iiint_{\Delta V}\rho r^2\,dV\\[6pt]
&=\Delta z\iint_{\Delta S}\rho r^2\,dS\\[6pt]
&=\Delta z\iint_{\Delta S}\rho(x^2+y^2)\,dS\\[6pt]
&=\Delta z\int_{\Delta L}\rho
\left[\frac{2}{3}x^3+xy^2\right]_{-\Delta x/2}^{\Delta x/2}\,dL\\[6pt]
&=\Delta z\int_{\Delta L}\rho
\left(\frac{1}{12}\Delta x^3+\Delta x y^2\right)\,dL\\[6pt]
&=\rho\Delta z
\left[\frac{1}{12}\Delta x^3\Delta y+\frac{1}{12}\Delta x\Delta y^3\right]_{-\Delta y/2}^{\Delta y/2}\\[6pt]
&=\frac{\rho}{12}\Delta x\Delta y\Delta z(\Delta x^2+\Delta y^2)
\end{aligned}
\]
となるので、トルクの収支式に代入すると次式となります。
\[
\begin{aligned}
\frac{\Delta x\Delta y\Delta z}{2}
(\tau_{yx|x}+\tau_{yx|x+\Delta x}-\tau_{xy|y}-\tau_{xy|y+\Delta y})
&=I_z\omega\\[6pt]
&=\frac{\rho}{12}\Delta x\Delta y\Delta z(\Delta x^2+\Delta y^2)\omega
\end{aligned}
\]
従って、
\[
\tau_{yx|x}+\tau_{yx|x+\Delta x}-\tau_{xy|y}-\tau_{xy|y+\Delta y}
=\frac{\rho}{6}(\Delta x^2+\Delta y^2)\omega
\]
Dx ,D y → 0とすると
\[
\tau_{yx|x}+\tau_{yx|x}-\tau_{xy|y}-\tau_{xy|y}=0
\]
従って、
\[
\tau_{yx}=\tau_{xy}
\]
同様に
\[
\begin{aligned}
\tau_{yz}&=\tau_{zy}\\[6pt]
\tau_{zx}&=\tau_{xz}
\end{aligned}
\]
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