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[ベクトル×ベクトル]
ベクトルとベクトルの外積は次式となります。
\[
\begin{aligned}
[\vec{v}\times\vec{w}]
&=\left[\sum_{i=0}^{3}\vec{\delta}_{i}v_i\times\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{j}w_j\right]\\[6pt]
&=\left[\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{i}v_i\times\vec{\delta}_{j}w_j\right]\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}[\vec{\delta}_{i}\times\vec{\delta}_{j}]v_iw_j\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\sum_{k=0}^{3}\varepsilon_{ijk}\vec{\delta}_{k}v_iw_j\\[6pt]
&=\varepsilon_{123}\vec{\delta}_{z}v_xw_y+\varepsilon_{231}\vec{\delta}_{x}v_yw_z+\varepsilon_{312}\vec{\delta}_{y}v_zw_x\\[6pt]
&\quad+\varepsilon_{321}\vec{\delta}_{x}v_zw_y+\varepsilon_{213}\vec{\delta}_{z}v_yw_x+\varepsilon_{132}\vec{\delta}_{y}v_xw_z\\[6pt]
&=\vec{\delta}_{x}(v_yw_z-v_zw_y)+\vec{\delta}_{y}(v_zw_x-v_xw_z)+\vec{\delta}_{z}(v_xw_y-v_yw_x)
\end{aligned}
\]
ベクトルとベクトルの外積の成分は、2つのベクトルで表される 平行四辺形の面積を表しています。次の様にも表されます。
\[
[\vec{v}\times\vec{w}]=( |\vec{v}|\,|\vec{w}|\sin\theta )\vec{n}
\]
従って、2つのベクトルが平行の時は、 外積は0になります。
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