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無次元数
無次元数は、ある系に作用する力[N]の釣り合いを示しています。
系の現象は、力の大きさではなく、力の釣り合いで決まります。
例えば、系1と系2の
無次元数が等しい場合、系の大きさや作用する力が異なっても同じ現象が現れます。
これは、（後から出てきますが）計算に用いられる無次元化された支配方程式に現れる定数は
無次元数のみであることに起因しています。
下記に示している各力は物性値や代表速度、代表長さで決まります。
従って、代表速度・長さの取り方によっては無次元数は変わってきます。
計算に無次元化した支配方程式を用いた場合、（無次元数が異なれば）それに伴い計算結果も異なってきます。
しかし、何れの代表速度・長さを用いた場合においても、計算結果を有次元に戻せば、同様の結果が得られます。
つまり、現実の現象は、代表速度・長さの取り方に依存しません。
先ほど、「無次元数が等しければ系1と系2は同様の現象になる。」と書きました。しかし、これらの現象も、
系1と系2において、代表速度・長さの取り方や物性値が異なっていれば、現実においては異なる現象になります。
つまり、「有次元においては現象が異なってくる」と言うことです。
以上を要約すれば、
・無次元数が同じであれば、計算結果は同様になる。
・しかし、代表速度・長さの取り方や物性値が異なっていれば、現実の現象（有次元の現象）は異なったものになる。
と言うことになります。
系に作用する力は次の様になります。
\[
\begin{aligned}
F_{\text{慣性力}}
&=ma
&&[\mathrm{kg}][\mathrm{m/s^2}]\\[6pt]
&=w_x\Delta t\frac{dv}{dt}
&&[\mathrm{kg/s}][\mathrm{s}][\mathrm{m/s^2}]\\[6pt]
&=\rho x^2v\Delta t\frac{dv}{dt}\\[6pt]
&=\rho x^2v\frac{dv}{dt}\Delta t\\[6pt]
&=\rho x^2v^2
&&[\mathrm{N}]\left(=[\mathrm{kg/m^3}][\mathrm{m^2}][\mathrm{m^2/s^2}]\right)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
F_{\text{粘性力}}
&=\mu\frac{\partial v}{\partial x}\times A
&&\left[\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}}\mathrm{s}\right]
\frac{[\mathrm{m/s}]}{[\mathrm{m}]}[\mathrm{m^2}]\\[6pt]
&=\mu\frac{v}{x}x^2
&&[\mathrm{N/m^2}][\mathrm{m^2}]\\[6pt]
&=\mu vx
&&[\mathrm{N}]
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
F_{\text{表面張力}/2}
&=\frac{\gamma}{R}\times A
&&\frac{[\mathrm{N/m}]}{[\mathrm{m}]}[\mathrm{m^2}]\\[6pt]
&=\frac{\gamma}{x}x^2
&&\frac{[\mathrm{N/m}]}{[\mathrm{m}]}[\mathrm{m^2}]\\[6pt]
&=\gamma x
&&[\mathrm{N}]
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
F_{\text{重力}}
&=mg
&&[\mathrm{kg}][\mathrm{m/s^2}]\\[6pt]
&=\rho Vg
&&[\mathrm{kg/m^3}][\mathrm{m^3}][\mathrm{m/s^2}]\\[6pt]
&=\rho x^3g
&&[\mathrm{N}]\left(=[\mathrm{kg/m^3}][\mathrm{m^3}][\mathrm{m/s^2}]\right)
\end{aligned}
\]
ここで、x[m]は代表長さ、
v[m/s]は代表速度です。
これらの力の釣り合いを示す無次元数を紹介します。
また、ここで述べる無次元数以外にも熱収支式、物質収支式などで
使用される無次元数など様々な種類があります。
