広告
連立方程式の解
連立方程式の解を示します。数値計算で用いられることがあります。
\[
\left\{
\begin{aligned}
a_1x+b_1y+c_1z&=d_1\\[6pt]
a_2x+b_2y+c_2z&=d_2\\[6pt]
a_3x+b_3y+c_3z&=d_3
\end{aligned}
\right.
\]
xを代入する。
\[
\begin{aligned}
x&=\frac{d_1-b_1y-c_1z}{a_1}\\[6pt]
a_2\frac{d_1-b_1y-c_1z}{a_1}+b_2y+c_2z&=d_2\\[6pt]
a_3\frac{d_1-b_1y-c_1z}{a_1}+b_3y+c_3z&=d_3
\end{aligned}
\]
a1をかける。
\[
\begin{aligned}
a_2d_1-a_2b_1y-c_1a_2z+a_1b_2y+c_2a_1z&=a_1d_2\\[6pt]
a_3d_1-a_3b_1y-c_1a_3z+a_1b_3y+c_3a_1z&=a_1d_3
\end{aligned}
\]
項を整理する。
\[
\begin{aligned}
(a_1b_2-a_2b_1)y+(c_2a_1-c_1a_2)z&=a_1d_2-a_2d_1\\[6pt]
(a_1b_3-a_3b_1)y+(c_3a_1-c_1a_3)z&=a_1d_3-a_3d_1
\end{aligned}
\]
yについて解く。
\[
\begin{aligned}
y&=\frac{a_1d_2-a_2d_1}{a_1b_2-a_2b_1}-\frac{c_2a_1-c_1a_2}{a_1b_2-a_2b_1}z\\[6pt]
y&=\frac{a_1d_3-a_3d_1}{a_1b_3-a_3b_1}-\frac{c_3a_1-c_1a_3}{a_1b_3-a_3b_1}z
\end{aligned}
\]
代入する。
\[
\left(
\frac{c_3a_1-c_1a_3}{a_1b_3-a_3b_1}
-\frac{c_2a_1-c_1a_2}{a_1b_2-a_2b_1}
\right)z
=
\frac{a_1d_3-a_3d_1}{a_1b_3-a_3b_1}
-\frac{a_1d_2-a_2d_1}{a_1b_2-a_2b_1}
\]
zを計算する。
\[
\begin{aligned}
z&=
\frac{
(a_1b_2-a_2b_1)(a_1d_3-a_3d_1)-(a_1b_3-a_3b_1)(a_1d_2-a_2d_1)
}{
(a_1b_2-a_2b_1)(c_3a_1-c_1a_3)-(a_1b_3-a_3b_1)(c_2a_1-c_1a_2)
}\\[6pt]
&=
\frac{
a_1a_1b_2d_3+a_2a_3b_1d_1+a_1a_2b_3d_1+a_1a_3b_1d_2-a_1a_3b_2d_1-a_1a_2b_1d_3-a_1a_1b_3d_2-a_2a_3b_1d_1
}{
a_1a_1b_2c_3+a_2a_3b_1c_1+a_1a_2b_3c_1+a_1a_3b_1c_2-a_1a_3b_2c_1-a_1a_2b_1c_3-a_1a_1b_3c_2-a_2a_3b_1c_1
}\\[6pt]
&=
\frac{
a_1a_1b_2d_3+a_1a_2b_3d_1+a_1a_3b_1d_2-a_1a_3b_2d_1-a_1a_2b_1d_3-a_1a_1b_3d_2
}{
a_1a_1b_2c_3+a_1a_2b_3c_1+a_1a_3b_1c_2-a_1a_3b_2c_1-a_1a_2b_1c_3-a_1a_1b_3c_2
}\\[6pt]
&=
\frac{
a_1b_2d_3+a_2b_3d_1+a_3b_1d_2-a_3b_2d_1-a_2b_1d_3-a_1b_3d_2
}{
a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
}
\end{aligned}
\]
次にyを計算する。
\[
\begin{aligned}
(a_1b_2-a_2b_1)y+(c_2a_1-c_1a_2)z&=a_1d_2-a_2d_1\\[6pt]
(a_1b_3-a_3b_1)y+(c_3a_1-c_1a_3)z&=a_1d_3-a_3d_1
\end{aligned}
\]
zの係数で割る。
\[
\begin{aligned}
\frac{a_1b_2-a_2b_1}{c_2a_1-c_1a_2}y+z&=\frac{a_1d_2-a_2d_1}{c_2a_1-c_1a_2}\\[6pt]
\frac{a_1b_3-a_3b_1}{c_3a_1-c_1a_3}y+z&=\frac{a_1d_3-a_3d_1}{c_3a_1-c_1a_3}
\end{aligned}
\]
代入する
\[
\frac{a_1b_2-a_2b_1}{c_2a_1-c_1a_2}y
-\frac{a_1b_3-a_3b_1}{c_3a_1-c_1a_3}y
=
\frac{a_1d_2-a_2d_1}{c_2a_1-c_1a_2}
-\frac{a_1d_3-a_3d_1}{c_3a_1-c_1a_3}
\]
項を整理する。
\[
\begin{aligned}
&\left\{
(c_3a_1-c_1a_3)(a_1b_2-a_2b_1)
-(c_2a_1-c_1a_2)(a_1b_3-a_3b_1)
\right\}y\\[6pt]
&=(c_3a_1-c_1a_3)(a_1d_2-a_2d_1)
-(c_2a_1-c_1a_2)(a_1d_3-a_3d_1)
\end{aligned}
\]
yを計算する。
\[
\begin{aligned}
y&=
\frac{
(c_3a_1-c_1a_3)(a_1d_2-a_2d_1)-(c_2a_1-c_1a_2)(a_1d_3-a_3d_1)
}{
(c_3a_1-c_1a_3)(a_1b_2-a_2b_1)-(c_2a_1-c_1a_2)(a_1b_3-a_3b_1)
}\\[6pt]
&=
\frac{
c_3a_1a_1d_2-c_3a_1a_2d_1-c_1a_3a_1d_2+c_1a_3a_2d_1-c_2a_1a_1d_3+c_2a_1a_3d_1+c_1a_2a_1d_3-c_1a_2a_3d_1
}{
c_3a_1a_1b_2-c_3a_1a_2b_1-c_1a_3a_1b_2+c_1a_3a_2b_1-c_2a_1a_1b_3+c_2a_1a_3b_1+c_1a_2a_1b_3-c_1a_2a_3b_1
}\\[6pt]
&=
\frac{
c_3a_1d_2-c_3a_2d_1-c_1a_3d_2-c_2a_1d_3+c_2a_3d_1+c_1a_2d_3
}{
c_3a_1b_2-c_3a_2b_1-c_1a_3b_2-c_2a_1b_3+c_2a_3b_1+c_1a_2b_3
}\\[6pt]
&=
\frac{
a_1d_2c_3+a_2d_3c_1+a_3d_1c_2-a_3d_2c_1-a_2d_1c_3-a_1d_3c_2
}{
a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
}
\end{aligned}
\]
次にxを計算する。
\[
\begin{aligned}
x&=\frac{d_1-b_1y-c_1z}{a_1}\\[6pt]
&=
\frac{
\begin{aligned}
&d_1(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2)\\
&-b_1(a_1d_2c_3+a_2d_3c_1+a_3d_1c_2-a_3d_2c_1-a_2d_1c_3-a_1d_3c_2)\\
&-c_1(a_1b_2d_3+a_2b_3d_1+a_3b_1d_2-a_3b_2d_1-a_2b_1d_3-a_1b_3d_2)
\end{aligned}
}{
a_1(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2)
}\\[4pt]
&=
\frac{
\begin{aligned}
&a_1b_2c_3d_1+a_2b_3c_1d_1+a_3b_1c_2d_1-a_3b_2c_1d_1-a_2b_1c_3d_1-a_1b_3c_2d_1\\[6pt]
&-a_1b_1c_3d_2-a_2b_1c_1d_3-a_3b_1c_2d_1+a_3b_1c_1d_2+a_2b_1c_3d_1+a_1b_1c_2d_3\\[6pt]
&-a_1b_2c_1d_3-a_2b_3c_1d_1-a_3b_1c_1d_2+a_3b_2c_1d_1+a_2b_1c_1d_3+a_1b_3c_1d_2
\end{aligned}
}{
a_1(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2)
}\\[4pt]
&=
\frac{
b_1c_2d_3+b_2c_3d_1+b_3c_1d_2-b_3c_2d_1-b_2c_1d_3-b_1c_3d_2
}{
a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
}
\end{aligned}
\]
まとめると次式となります。
\[
\begin{aligned}
x&=
\frac{
b_1c_2d_3+b_2c_3d_1+b_3c_1d_2-b_3c_2d_1-b_2c_1d_3-b_1c_3d_2
}{
a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
}\\[6pt]
y&=
\frac{
a_1d_2c_3+a_2d_3c_1+a_3d_1c_2-a_3d_2c_1-a_2d_1c_3-a_1d_3c_2
}{
a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
}\\[6pt]
z&=
\frac{
a_1b_2d_3+a_2b_3d_1+a_3b_1d_2-a_3b_2d_1-a_2b_1d_3-a_1b_3d_2
}{
a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2
}
\end{aligned}
\]
分母が0となる場合は計算できません。
| prev | | | top | | | next |
