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円筒座標（円柱座標）
直交座標と円筒座標の座標変換について述べます。変数はそれぞれ下記が用いられます。
直交座標(x, y, z)
円筒座標(r, q, z)
円筒座標(r, q, z) ⇒直交座標(x, y, z)
円筒座標を直交座標に変換する場合です。変数は下記で表されます。
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=r\cos\theta\\[6pt]
y&=r\sin\theta\\[6pt]
z&=z
\end{aligned}
\right.
\]
ベクトルの変換は次式となります。
\[
\begin{aligned}
\vec{\delta}_x&=\vec{\delta}_r(\cos\theta)+\vec{\delta}_\theta(-\sin\theta)+\vec{\delta}_z(0)\\[6pt]
\vec{\delta}_y&=\vec{\delta}_r(\sin\theta)+\vec{\delta}_\theta(\cos\theta)+\vec{\delta}_z(0)\\[6pt]
\vec{\delta}_z&=\vec{\delta}_r(0)+\vec{\delta}_\theta(0)+\vec{\delta}_z(1)
\end{aligned}
\]
作用素の変換は次式となります。
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x}
&=(\cos\theta)\frac{\partial}{\partial r}
+\left(\frac{-\sin\theta}{r}\right)\frac{\partial}{\partial\theta}
+(0)\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt]
\frac{\partial}{\partial y}
&=(\sin\theta)\frac{\partial}{\partial r}
+\left(\frac{\cos\theta}{r}\right)\frac{\partial}{\partial\theta}
+(0)\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt]
\frac{\partial}{\partial z}
&=(0)\frac{\partial}{\partial r}
+(0)\frac{\partial}{\partial\theta}
+(1)\frac{\partial}{\partial z}
\end{aligned}
\]
直交座標(x, y, z) ⇒円筒座標(r, q, z)
直交座標を円筒座標に変換する場合です。変数は下記で表されます。
\[
\left\{
\begin{aligned}
r&=+\sqrt{x^2+y^2}\\[6pt]
\theta&=\tan^{-1}\frac{y}{x}\\[6pt]
z&=z
\end{aligned}
\right.
\]
ベクトルの変換は次式となります。
\[
\begin{aligned}
\vec{\delta}_r&=\vec{\delta}_x(\cos\theta)+\vec{\delta}_y(\sin\theta)+\vec{\delta}_z(0)\\[6pt]
\vec{\delta}_\theta&=\vec{\delta}_x(-\sin\theta)+\vec{\delta}_y(\cos\theta)+\vec{\delta}_z(0)\\[6pt]
\vec{\delta}_z&=\vec{\delta}_x(0)+\vec{\delta}_y(0)+\vec{\delta}_z(1)
\end{aligned}
\]
作用素の変換は次式となります。
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial r}
&=(\cos\theta)\frac{\partial}{\partial x}
+(\sin\theta)\frac{\partial}{\partial y}
+(0)\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt]
\frac{\partial}{\partial\theta}
&=(-r\sin\theta)\frac{\partial}{\partial x}
+(r\cos\theta)\frac{\partial}{\partial y}
+(0)\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt]
\frac{\partial}{\partial z}
&=(0)\frac{\partial}{\partial x}
+(0)\frac{\partial}{\partial y}
+(1)\frac{\partial}{\partial z}
\end{aligned}
\]
また、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial r}\vec{\delta}_r&=0,\qquad
\frac{\partial}{\partial r}\vec{\delta}_\theta=0,\qquad
\frac{\partial}{\partial r}\vec{\delta}_z=0\\[6pt]
\frac{\partial}{\partial\theta}\vec{\delta}_r&=\vec{\delta}_\theta,\qquad
\frac{\partial}{\partial\theta}\vec{\delta}_\theta=-\vec{\delta}_r,\qquad
\frac{\partial}{\partial\theta}\vec{\delta}_z=0\\[6pt]
\frac{\partial}{\partial z}\vec{\delta}_r&=0,\qquad
\frac{\partial}{\partial z}\vec{\delta}_\theta=0,\qquad
\frac{\partial}{\partial z}\vec{\delta}_z=0
\end{aligned}
\]
従って、
\[
\nabla
=\vec{\delta}_r\frac{\partial}{\partial r}
+\vec{\delta}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}
+\vec{\delta}_z\frac{\partial}{\partial z}
\]
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