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・3角形1次要素
上図の様にxy座標に1つの 3角形要素を考える。1次要素の場合は、 物理量fは次式となります。
\[
\phi(x,y)=\alpha+\beta x+\gamma y
\]
ここで、a, b, gは未知数です。これら 3つの未知数を3 つの節点の物理量から計算します。
\[
\left\{
\begin{aligned}
\phi_1&=\alpha+\beta x_1+\gamma y_1\\[6pt]
\phi_2&=\alpha+\beta x_2+\gamma y_2\\[6pt]
\phi_3&=\alpha+\beta x_3+\gamma y_3
\end{aligned}
\right.
\]
これを計算すると次式となります。
\[
\begin{aligned}
\alpha&=(x_2y_3-x_3y_2)\phi_1+(x_3y_1-x_1y_3)\phi_2+(x_1y_2-x_2y_1)\phi_3\\[6pt]
\beta&=(y_2-y_3)\phi_1+(y_3-y_1)\phi_2+(y_1-y_2)\phi_3\\[6pt]
\gamma&=(x_3-x_2)\phi_1+(x_1-x_3)\phi_2+(x_2-x_1)\phi_3
\end{aligned}
\]
これを物理量fの式に代入すると次式が得られます。
\[
\begin{aligned}
\phi(x,y)&=N_1\phi_1+N_2\phi_2+N_3\phi_3\\[6pt]
&=L_1\phi_1+L_2\phi_2+L_3\phi_3
\end{aligned}
\]
ここで、L1 , L2, L3[-] は形状関数と呼ばれ次式で定義されます。
\[
L_1=\frac{A_1}{A},\quad
L_2=\frac{A_2}{A},\quad
L_3=\frac{A_3}{A}
\]
また、内挿関数は次式で定義されます。
\[
\begin{aligned}
&N_1=L_1,\qquad N_2=L_2,\qquad N_3=L_3\\[6pt]
&N_1+N_2+N_3=1
\end{aligned}
\]
つまり、物理量は面積比で決まっていることがわかります。
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