広告
・3角形2次要素
次に3角形2次要素の場合は、 物理量fは次式となります。
\[
\phi(x,y)=\alpha+\beta x+\gamma y+\xi x^2+\eta xy+\zeta y^2
\]
未知数は6個で、要素の6 個の節点から6元1 次方程式を解くことになります。
\[
\left\{
\begin{aligned}
\phi_1&=\alpha+\beta x_1+\gamma y_1+\xi x_1^2+\eta x_1y_1+\zeta y_1^2\\[6pt]
\phi_2&=\alpha+\beta x_2+\gamma y_2+\xi x_2^2+\eta x_2y_2+\zeta y_2^2\\[6pt]
\phi_3&=\alpha+\beta x_3+\gamma y_3+\xi x_3^2+\eta x_3y_3+\zeta y_3^2\\[6pt]
\phi_4&=\alpha+\beta x_4+\gamma y_4+\xi x_4^2+\eta x_4y_4+\zeta y_4^2\\[6pt]
\phi_5&=\alpha+\beta x_5+\gamma y_5+\xi x_5^2+\eta x_5y_5+\zeta y_5^2\\[6pt]
\phi_6&=\alpha+\beta x_6+\gamma y_6+\xi x_6^2+\eta x_6y_6+\zeta y_6^2
\end{aligned}
\right.
\]
これを解くと次式が得られます。
\[
\begin{aligned}
\phi(x,y)
&=N_1\phi_1+N_2\phi_2+N_3\phi_3+N_4\phi_4+N_5\phi_5+N_6\phi_6\\[6pt]
&=L_1(2L_1-1)\phi_1+L_2(2L_2-1)\phi_2+L_3(2L_3-1)\phi_3\\[6pt]
&\quad+4L_1L_2\phi_4+4L_2L_3\phi_5+4L_3L_1\phi_6
\end{aligned}
\]
ここで、内挿関数は次式で定義されます。
\[
\begin{aligned}
N_1&=L_1(2L_1-1)\\[6pt]
N_2&=L_2(2L_2-1)\\[6pt]
N_3&=L_3(2L_3-1)\\[6pt]
N_4&=4L_1L_2\\[6pt]
N_5&=4L_2L_3\\[6pt]
N_6&=4L_3L_1
\end{aligned}
\]
また、
\[
\sum_{i=1}^{6}N_i=1
\]
| prev | | | up | | | next |
