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クロネッカーのデルタ dij
クロネッカーのデルタ(Kronecker delta)は次式で定義される記号です。 内積計算などに使用されます。
\[
\delta_{ij}=\begin{cases}0&(i\neq j)\\1&(i=j)\end{cases}
\]
内積計算はこの記号を用いて下記で定義されます。
\[(\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j})=\delta_{ij}\]
\[
\begin{aligned}
[\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j}\vec{\delta}_{k}]
&=(\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j})\vec{\delta}_{k}\\[6pt]
&=\delta_{ij}\vec{\delta}_{k}
\end{aligned}
\]
これは、内積の定義から説明されます。
\[
\begin{aligned}
\delta_{ij}
&=(\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j})\\[6pt]
&=|\vec{\delta}_{i}|\,|\vec{\delta}_{j}|\cos\theta\\[6pt]
&=\cos\theta\\[6pt]
&=\begin{cases}\cos\dfrac{\pi}{2}&(i\neq j)\\\cos0&(i=j)\end{cases}
\end{aligned}
\]
つまり、2つの単位ベクトルが直交するか 平行になるかを表す便利な記号です。
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