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(ベクトル・ベクトル)
ベクトルとベクトルの内積は次式となります。
\[
\begin{aligned}
(\vec{v}\cdot\vec{w})
&=\left(\sum_{i=0}^{3}\vec{\delta}_{i}v_i\cdot\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{j}w_j\right)\\[6pt]
&=\left(\sum_{i=0}^{3}\vec{\delta}_{i}v_i\cdot\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{j}w_j\right)\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}(\vec{\delta}_{i}v_i\cdot\vec{\delta}_{j}w_j)\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}(\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j})v_iw_j\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\delta_{ij}v_iw_j\\[6pt]
&=v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z
\end{aligned}
\]
上記の項のオーダーは、
(ベクトル・ベクトル) = (1 - 2 + 1) = 0
と計算されるので、スカラー量になります。
また、下記が成り立ちます。
\[(\vec{v}\cdot\vec{w})=(\vec{w}\cdot\vec{v})\]
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