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(∇・ベクトル) 発散
微分作用素とベクトルの内積は次式となります。
\[
\begin{aligned}
(\nabla\cdot\vec{v})
&=\left(\sum_{i=0}^{3}\vec{\delta}_{i}\frac{\partial}{\partial x_i}\cdot\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{j}v_j\right)\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\left(\vec{\delta}_{i}\frac{\partial}{\partial x_i}\cdot\vec{\delta}_{j}v_j\right)\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}(\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j})\frac{\partial}{\partial x_i}v_j\\[6pt]
&=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\delta_{ij}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\\[6pt]
&=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}
\end{aligned}
\]
上記の項のオーダーは、
(微分作用素・ベクトル) = (1 - 2 + 1) = 0
と計算されるので、スカラー量になります。この物理量は発散と呼ばれ、微小領域への流入・流出量を表しています。
\((\nabla\cdot\vec{v})<0\) →微小領域へ物理量が流出した
\((\nabla\cdot\vec{v})=0\) →微小領域への流入・流出は無い
\((\nabla\cdot\vec{v})>0\) →微小領域へ物理量が流入した
上記からわかるように発散とはx, y, z 軸方向の勾配の和であり、0の場合は、平らなので流入・流出は無いと解釈できます。 また、下記が成り立ちます。
\[(\nabla\cdot\vec{v})\neq(\vec{v}\cdot\nabla)\]
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