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全微分作用素
流体力学で使用する全微分作用素には、内積が使用されています。
\[
\begin{aligned}
\frac{D}{Dt}
&=\frac{\partial}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\\[6pt]
&=\frac{\partial}{\partial t}+\left(\sum_{i=0}^{3}\vec{\delta}_{i}v_i\cdot\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{j}\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\\[6pt]
&=\frac{\partial}{\partial t}+\left(\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\vec{\delta}_{i}v_i\cdot\vec{\delta}_{j}\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\\[6pt]
&=\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}(\vec{\delta}_{i}\cdot\vec{\delta}_{j})v_i\frac{\partial}{\partial x_j}\\[6pt]
&=\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}\delta_{ij}v_i\frac{\partial}{\partial x_j}\\[6pt]
&=\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=0}^{3}v_i\frac{\partial}{\partial x_i}\\[6pt]
&=\frac{\partial}{\partial t}+v_x\frac{\partial}{\partial x_x}+v_y\frac{\partial}{\partial x_y}+v_z\frac{\partial}{\partial x_z}
\end{aligned}
\]
上記の項のオーダーは、
(ベクトル・微分作用素) = (1 - 2 + 1) = 0
と計算されるので、スカラー量になります。
これは、流体力学で使用されます。微小領域の時間による変化量をテーラー展開した1次の項である。 変化には流れが影響することを表しています。
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