広告
収支式の導出
流入・流出する熱流量の収支を取ると、収支式は、次式で表されます。
\[
\begin{aligned}
\rho C_p\frac{T_{t+\Delta t}-T_t}{\Delta t}\Delta x\Delta y\Delta z
&={}\rho C_p\left(
\Delta y\Delta z\,v_xT|_x
+\Delta z\Delta x\,v_yT|_y
+\Delta x\Delta y\,v_zT|_z
\right)\\[6pt]
&-\rho C_p\left(
\Delta y\Delta z\,v_xT|_{x+\Delta x}
+\Delta z\Delta x\,v_yT|_{y+\Delta y}
+\Delta x\Delta y\,v_zT|_{z+\Delta z}
\right)\\[6pt]
&-\Delta y\Delta z\,k\left.\frac{dT}{dx}\right|_x
-\Delta z\Delta x\,k\left.\frac{dT}{dy}\right|_y
-\Delta x\Delta y\,k\left.\frac{dT}{dz}\right|_z\\[6pt]
&+\Delta y\Delta z\,k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x+\Delta x}
+\Delta z\Delta x\,k\left.\frac{dT}{dy}\right|_{y+\Delta y}
+\Delta x\Delta y\,k\left.\frac{dT}{dz}\right|_{z+\Delta z}
\end{aligned}
\]
これは、x軸方向の収支を表してます。 両辺をDx Dy Dzで割ると
\[
\begin{aligned}
\rho C_p\frac{T_{t+\Delta t}-T_t}{\Delta t}
&={}\rho C_p\left(
\frac{v_x|_xT|_x}{\Delta x}
+\frac{v_y|_yT|_x}{\Delta y}
+\frac{v_z|_zT|_x}{\Delta z}
\right)\\[6pt]
&-\rho C_p\left(
\frac{v_x|_{x+\Delta x}T|_{x+\Delta x}}{\Delta x}
+\frac{v_y|_{y+\Delta y}T|_{x+\Delta x}}{\Delta y}
+\frac{v_z|_{z+\Delta z}T|_{x+\Delta x}}{\Delta z}
\right)\\[6pt]
&-k\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_x}{\Delta x}
-k\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_y}{\Delta y}
-k\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_z}{\Delta z}\\[6pt]
&+k\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x+\Delta x}}{\Delta x}
+k\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_{y+\Delta y}}{\Delta y}
+k\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_{z+\Delta z}}{\Delta z}
\end{aligned}
\]
整理して
\[
\begin{aligned}
&\rho C_p\frac{T_{t+\Delta t}-T_t}{\Delta t}\\[6pt]
&+\rho C_p\left(
\frac{v_x|_{x+\Delta x}T|_{x+\Delta x}-v_x|_xT|_x}{\Delta x}
\right)\\[6pt]
&+\rho C_p\left(
\frac{v_y|_{y+\Delta y}T|_{y+\Delta y}-v_y|_yT|_y}{\Delta y}
\right)\\[6pt]
&+\rho C_p\left(
\frac{v_z|_{z+\Delta z}T|_{x+\Delta x}-v_z|_zT|_z}{\Delta z}
\right)\\[6pt]
&=k\left(
\frac{\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x+\Delta x}-\left.\frac{dT}{dx}\right|_x}{\Delta x}
+\frac{\left.\frac{dT}{dy}\right|_{y+\Delta y}-\left.\frac{dT}{dy}\right|_y}{\Delta y}
+\frac{\left.\frac{dT}{dz}\right|_{z+\Delta z}-\left.\frac{dT}{dz}\right|_z}{\Delta z}
\right)
\end{aligned}
\]
Dx → 0とすると
\[
\rho C_p\left\{
\frac{dT}{dt}
+\frac{d(v_xT)}{dx}
+\frac{d(v_yT)}{dy}
+\frac{d(v_zT)}{dz}
\right\}
=
k\left(
\frac{d^2T}{d^2x}
+\frac{d^2T}{d^2y}
+\frac{d^2T}{d^2z}
\right)
\]
従って、
\[
\rho C_p\left(
\frac{dT}{dt}
+v_x\frac{dT}{dx}
+v_y\frac{dT}{dy}
+v_z\frac{dT}{dz}
\right)
=
k\left(
\frac{d^2T}{d^2x}
+\frac{d^2T}{d^2y}
+\frac{d^2T}{d^2z}
\right)
\]
ベクトル表示すると
\[
\rho C_p\frac{DT}{Dt}=k\Delta T
\]
上式は、熱伝導率が一定の場合です。
| prev | | | top | | | next |
