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勾配モデル
勾配モデルは、次式で表されます。
\[
[\nabla\phi_i]=\frac{d}{n^0}\sum_{j\ne i}
\frac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_i|^2}
(\vec r_j-\vec r_i)w(|\vec r_j-\vec r_i|)
\]
これは、次式の様に解釈できます。
\[
[\nabla\phi_i]=\frac{d}{n^0}\sum_{j\ne i}
\frac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}
\frac{\vec r_j-\vec r_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}
w(|\vec r_j-\vec r_i|)
\]
ここで、\(\dfrac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}\)は勾配、 \(\dfrac{\vec r_j-\vec r_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}\)は規格化された方向ベクトルを表しています。 dは、次元を表していて、2次元の場合は2、3次元の場合は、3となります。
勾配モデルの導出
近接する2点の物理量をそれぞれ\(\phi(\vec r_i)\) ,\(\phi(\vec r_j)\)とします。 テーラー展開を用いて片方の物理量をもう片方の物理量で表すと次式となります。
\[
\phi_j=\phi_i+\nabla\phi_i\cdot(\vec r_j-\vec r_j)+\cdots
\]
従って、2次以降を省略すると
\[
\nabla\phi_i\cdot(\vec r_j-\vec r_j)=\phi_j-\phi_i
\]
となり、両辺を2点間の距離で割ると次式となります。
\[
\nabla\phi_i\cdot\frac{\vec r_j-\vec r_j}{|\vec r_j-\vec r_j|}
=
\frac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_j|}
\]
これは、2点間の勾配を表すスカラー量であることがわかります。 両辺に規格化された方向ベクトルを掛けることで、勾配を表すベクトル量の次式となります。
\[
[\nabla\phi_{ij}]
=
\left(
\nabla\phi_i\cdot\frac{\vec r_j-\vec r_j}{|\vec r_j-\vec r_j|}
\right)
\frac{\vec r_j-\vec r_j}{|\vec r_j-\vec r_j|}
=
\frac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_j|}
\frac{\vec r_j-\vec r_j}{|\vec r_j-\vec r_j|}
\]
近接する多数の点から勾配を導出する場合は、次式で定義される重み平均を用います。
\[
f(x)=\frac{\sum f(x_i)w(x_i)}{n^0}
\]
上式を適用すると
\[
\begin{aligned}
[\nabla\phi]
&=\frac{d}{n^0}\sum_{i\ne j}
\frac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_j|}
\frac{\vec r_j-\vec r_j}{|\vec r_j-\vec r_j|}
w(|\vec r_j-\vec r_j|)\\[6pt]
&=\frac{d}{n^0}\sum_{i\ne j}
\frac{\phi_j-\phi_i}{|\vec r_j-\vec r_j|^2}
(\vec r_j-\vec r_j)w(|\vec r_j-\vec r_j|)
\end{aligned}
\]
ここで、
1次元：d=1
2次元：d=2
3次元：d=3
です。これは、軸の数を表しています。
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