広告
発散モデル
発散モデルは、次式で表されます。
\[
(\nabla\cdot\vec v_i)=\frac{d}{n^0}\sum_{j\ne i}
\frac{(\vec v_j-\vec v_i)\cdot(\vec r_j-\vec r_i)}
{|\vec r_j-\vec r_i|^2}
w(|\vec r_j-\vec r_i|)
\]
これは、次式の様に解釈できます。
\[
(\nabla\cdot\vec v_i)=\frac{d}{n^0}\sum_{j\ne i}
\frac{\vec v_j-\vec v_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}
\cdot
\frac{\vec r_j-\vec r_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}
w(|\vec r_j-\vec r_i|)
\]
ここで、\(\dfrac{\vec v_j-\vec v_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}\)は勾配ベクトル、 \(\dfrac{\vec r_j-\vec r_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}\)は規格化された方向ベクトルを表しています。 dは、次元を表していて、2次元の場合は2、3次元の場合は、3となります。 また、発散の成分は次式で計算されます。
\[
\begin{aligned}
(\vec v_j-\vec v_i)\cdot(\vec r_j-\vec r_i)
&=(v_j-v_i)|_x(r_j-r_i)|_x\\[6pt]
&\quad +(v_j-v_i)|_y(r_j-r_i)|_y\\[6pt]
&\quad +(v_j-v_i)|_z(r_j-r_i)|_z
\end{aligned}
\]
発散モデルの導出
2点間の勾配は、次式で表されます。
\[
\nabla_{ij}
=
\frac{1}{|\vec r_j-\vec r_i|}
\frac{\vec r_j-\vec r_i}{|\vec r_j-\vec r_i|}
\]
従って、2点間のベクトルとの内積は次式で表されます。
\[
\begin{aligned}
(\nabla_{ij}\cdot\vec v_{ij})
&=
\left[
\frac{\vec r_j-\vec r_i}{|\vec r_j-\vec r_i|^2}
\right]\cdot
[\vec v_j-\vec v_i]\\[6pt]
&=
\frac{(\vec r_j-\vec r_i)\cdot(\vec v_j-\vec v_i)}
{|\vec r_j-\vec r_i|^2}
\end{aligned}
\]
近接する多数の点から発散を導出する場合は、次式で定義される重み平均を用います。
\[
f(x)=\frac{\sum f(x_i)w(x_i)}{n^0}
\]
上式を適用すると
\[
(\nabla\cdot\vec v)
=
\frac{d}{n^0}\sum_{i\ne j}
\frac{(\vec v_j-\vec v_i)\cdot(\vec r_j-\vec r_j)}
{|\vec r_j-\vec r_j|^2}
w(|\vec r_j-\vec r_j|)
\]
ここで、
1次元：d=1
2次元：d=2
3次元：d=3
です。これは、軸の数を表しています。
| prev | | | up | | | next |
