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・4面体1次要素
4面体1次要素の場合も同様に定義されます。
上図の様にxyz座標に1 つの4面体要素を考える。1 次要素の場合は、物理量fは次式となります。
\[
\phi(x,y,z)=\alpha+\beta x+\gamma y+\xi z
\]
ここで、 a, b, g, hは未知数です。 これら4つの未知数を 4つの節点の物理量から計算します。
\[
\left\{
\begin{aligned}
\phi_1&=\alpha+\beta x_1+\gamma y_1+\xi z_1\\[6pt]
\phi_2&=\alpha+\beta x_2+\gamma y_2+\xi z_2\\[6pt]
\phi_3&=\alpha+\beta x_3+\gamma y_3+\xi z_3\\[6pt]
\phi_4&=\alpha+\beta x_4+\gamma y_4+\xi z_4
\end{aligned}
\right.
\]
この連立方程式の解を物理量f の式に代入すると次式が得られます。
\[
\begin{aligned}
\phi(x,y)&=N_1\phi_1+N_2\phi_2+N_3\phi_3+N_4\phi_4\\[6pt]
&=L_1\phi_1+L_2\phi_2+L_3\phi_3+L_4\phi_4
\end{aligned}
\]
ここで、 L1, L2, L3[-] は形状関数と呼ばれ次式で定義されます。
\[
L_1=\frac{V_1}{V},\quad
L_2=\frac{V_2}{V},\quad
L_3=\frac{V_3}{V},\quad
L_4=\frac{V_4}{V}
\]
また、内挿関数は次式で定義されます。
\[
\begin{aligned}
&N_1=L_1,\qquad N_2=L_2,\qquad N_3=L_3,\qquad N_4=L_4\\[6pt]
&N_1+N_2+N_3+N_4=1
\end{aligned}
\]
つまり、物理量は体積比で決まっていることがわかります。
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